Processi diffusivi, moto browniano e meccanica stocastica

Nota Bene: per la comprensione di questo post è consigliata la lettura del post "Meccanica Quantistica e Meccanica Stocastica" che puoi trovare a questo link.

Meccanica Stocastica

In questo post vorrei descrivere la teoria sviluppata da Edward Nelson chiamata meccanica stocastica. Cercherò di introdurla prima in termini matematici. Poi considererò una sua estensione per mostrare che essa può fornire una soluzione al problema delle “variabili nascoste”.

Edward Nelson

La meccanica consiste di due parti: la dinamica e la cinematica. Supponiamo seguendo Nelson, che si parta dalla meccanica classica e si cambino le specifiche della cinematica, così che i percorsi non siano più differenziabili, ma siano invece dei semplici percorsi di un processo di diffusione. 

Allora, se xt denota la posizione di una particella al tempo t, avremo, per s>0 \[ x_{t+s}-x_{t}=\int_{t}^{t+s}b\left(x_{\tau},\tau\right)d\tau+\int_{t}^{t+s}\sigma\left(x_{\tau},\tau\right)dw_{\tau}.\] Qui b è un campo vettoriale dipendente dal tempo su 3, mentre l'ultimo integrale è un'integrale stocastico di Itô sul processo di Wiener \[\tau\mapsto w_{\tau}.\] Il modo usuale di scrivere questo è di pensare in termini di incrementi infinitesimi, cioè \[ dx_{t}=b\left(x_{t},\, t\right)dt+\sigma\left(x_{t},\, t\right)dw_{t}.\] Uno può pensare a dwt come ad una variabile Gaussiana infinitesima centrata di varianza dt. Naturalmente questo implica che \[ E\left(dw_{t}^{2}\right)=dt,\] dove E denota il valore di aspettazione, e quindi il percorso non è differenziabile. Proviamo a vedere se alcuni dei fenomeni fisici sconcertanti che si verificano su scala atomica possono essere spiegati postulando una sorta di moto browniano che agita tutte le particelle materiali. Non è necessario pensare a una modello materiale di etere e di immaginare la causa del movimento come causata da una sorta di "bombardamento" da parte dei grani dell'etere. Cerchiamo, per il momento, di tralasciare la causa del movimento e riprendiamo la concezione della materia di Robert Brown come composta da particelle di piccole dimensioni che presentano un rapido movimento irregolare originato,in un qualche modo, dalle particelle stesse. Non possiamo supporre che le particelle subiscano una forza d'attrito nel movimento attraverso l'etere in quanto ciò implicherebbe che il moto rettilineo uniforme potrebbe essere distinto da un altro, violando i principi di relatività. Di conseguenza, non possiamo basare la nostra discussione sull'equazione di Langevin. Si deve ritenere che ogni particella segua un processo di Markov della forma \begin{equation} dx\left(t\right)=b\left(x\left(t\right),\, t\right)dt+dw\left(t\right),\\(eq. 1)\end{equation} dove w rappresenta un processo di Wiener in 3, con w(t)-w(s) indipendente da x(r) per qualunque r ≤ s ≤ t . Dall'esperienza sappiamo che i corpi macroscopici non sembrano muoversi in questo modo bizzarro, per cui postuliamo che il coefficiente di diffusione sia inversamente proporzionale alla massa stessa della particella, m. Nelson definisce questa costante come \[ \sigma^{2}=\frac{\hbar}{2m}.\] Dove in questo caso ħ non è necessariamente la costante di Planck, in ogni caso essa ha le dimensioni di quest'ultima e cioè di un'azione. Comunque se ħ è dell'ordine di costante di Planck l'effetto del processo di Wiener sarebbe davvero trascurabile per i corpi macroscopici, ma sarebbe rilevante sul scala atomica. L'ipotesi cinematica (eq. 1) è non-relativistica, e la teoria che stiamo descrivendo è intesa come una valida approssimazione solo quando gli effetti relativistici possano essere trascurati. Il ruolo della dinamica è quello di specificare una particolare scelta di b che governa il moto della particella, che dipende dalla dalla forza in questione e dalle condizioni iniziali. Le leggi dinamiche della meccanica classica coinvolgono le derivate lungo i cammini, ma purtroppo i nostri cammini non sono differenziabili. Comunque, se \[ E_{p_{t}}\]  denota l'operatore di aspettazione condizionata al tempo t nel passato, allora \[ E_{p_{t}}\left(\sigma\left(x_{t},\, t\right)dw_{t}\right)=\sigma\left(x_{t},t\right)E_{p_{t}}\left(dw_{t}\right)\] di modo che \[ \lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{E_{p_{t}}\left(x_{t+h}-x_{t}\right)}{h}\right)=b\left(x_{t},t\right).\] Nelson introduce il simbolo Dxt per denotare il limite da sinistra, e lo chiama "derivata stocastica in avanti". Si ha quindi che \[ Dx_{t}=b\left(x_{t},t\right),\] e il campo vettoriale b è chiamato "velocità in avanti". Uno potrebbe interpretare l'equazione \[Dx_{t}=b\left(x_{t},t\right)\] proprio come un'equazione differenziale stocastica del primo ordine per il processo di diffusione xt e posto \[\sigma=\sqrt{\nu}=\sqrt{\frac{\hbar}{2m}},\]  essa, risulta essere un modo compatto e semplice per scrivere l'equazione: \[ x_{t}=x_{0}+\int_{_{0}}^{t}b\left(x_{\tau},\tau\right)d\tau+\sqrt{\frac{\hbar}{2m}}w_{t}.\]

Velocità all'indietro

In analogia si può definire anche una "velocità all'indietro".  Le persone generalmente pensano alla diffusione essenzialmente come un processo diffusivo che viola la reversibilità temporale, che è un'aspetto familiare delle leggi della meccanica classica e quantistica. É pur vero che se uno guardasse un film che mostra delle particelle browniane in moto è in grado di dire se il filmino sta andando in avanti o indietro nel tempo, in funzione del fatto le particelle si stiano espandendo o contraendo su se stesse. In ogni caso, qualunque sia il verso di scorrimento del film, ciò che uno vede è un processo di diffusione. L'unica differenza sta nel fatto che le velocità in avanti e indietro sono in generale differenti. Come Nelson enfatizza, un processo di diffusione è essenzialmente un processo stocastico con percorsi semplici continui e che rispetta la proprietà di Markov. Come già accennato un processo stocastico possiede le proprietà di Markov

• se dato il presente, il passato e il futuro sono indipendenti. 

Non c'è quindi ne una direzione del tempo codificata all'interno della proprietà di Markov, ne all'interno della continuità dei percorsi. Per descrivere la velocità all'indietro Nelson introduce \[ D_{*}x_{t}=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{E_{\mathcal{F}_{t}}\left(x_{t}-x_{t-h}\right)}{h}\right)\] dove EFt è il valore atteso condizionato al tempo t nel futuro. La velocità all'indietro b*(x,t) è definita da \[ D_{*}x_{t}=b_{*}\left(x_{t},\, t\right).\]

Equazione di continuità

Sia ρ la densità per la legge xt , così che per ogni dominio misurabile  A in 3, la probabilità è data da:

\[ Pr\left(A\right)=\int_{A}\rho\left(x,t\right)dx.\]

C'è un'importante relazione tra  b  e  b*  e la densità ρ:

\[ b_{*}=b-\nabla ln\left(\rho\right).\]

Nelson definisce\[ u=\frac{b-b_{*}}{2}\qquad\mathrm{e}\qquad v=\frac{b+b_{*}}{2}\]

e le chiama rispettivamente velocità osmotica e velocità di corrente. Chiaramente

\begin{equation} b=u+v\qquad\mathrm{e\qquad\mathit{-b_{*}=u-v}}.\\(eq. 3)\end{equation}

La velocità osmotica non cambia per inversione temporale, mentre la corrente di velocità cambia segno. Per di più, dalle due equazioni di diffusione

\[ \frac{\partial}{\partial t}\rho\left(x,t\right)+\nabla\cdot\left(bp\right)=\frac{\hbar}{2m}\triangle\rho\]e

\[ \frac{\partial}{\partial t}\rho\left(x,t\right)+\nabla\cdot\left(b_{*}p\right)=-\frac{\hbar}{2m}\triangle\rho\]

si ottiene l'equazione di continuità

\[\frac{\partial}{\partial t}\rho\left(x,t\right)+\nabla\cdot\left(vp\right)=0.\]

Accelerazione stocastica e equazione di Newton

Il passo più breve per definire una legge dinamica è sicuramente quello seguito da Nelson, egli introduce un'accelerazione stocastica come \[ \frac{1}{2}\left(D_{*}D+DD_{*}\right)x_{t}.\] 
Consideriamo il seguente problema: dato un potenziale in 3, cerchiamo un processo di diffusione xt che per un dato x0 e Dx0 , valga che \[ \frac{1}{2}\left(D_{*}D+DD_{*}\right)x_{t}=-\nabla V\left(x_{t}\right).\] Questa è una sorta di equazione differenziale stocastica del secondo ordine analoga all'equazione di Newton. Nel calcolo dell'accelerazione stocastica, prendere la derivata prima è facile è porta a \[ \frac{1}{2}\left(D_{*}b\left(x_{t},t\right)+Db_{*}\left(x_{t},t\right)\right).\] Il resto può essere derivato utilizzando la formula di Itô. Eseguendo i calcoli segue, dalle precedenti definizioni, che \[ \frac{1}{2}\left(D_{*}D+DD_{*}\right)x_{t}=\frac{\partial}{\partial t}v\left(x_{t},t\right)-u\cdot\nabla u\left(x_{t},t\right)+v\cdot\nabla v\left(x_{t},t\right)-\frac{\hbar}{2m}\triangle u\left(x_{t},t\right).\] Quindi otteniamo il sistema di equazioni \begin{equation} \begin{cases} & \frac{\partial}{\partial t}v\left(x,t\right)=-\nabla V\left(x\right)+u\cdot\nabla u\left(x,t\right)-v\cdot\nabla v\left(x,t\right)+\frac{\hbar}{2m}\triangle u\left(x,t\right),\\ & \frac{\partial}{\partial t}v\left(x,t\right)=-\nabla\left(u\cdot v\right)\left(x,t\right)-\frac{\hbar}{2m}\nabla\left(\nabla\cdot v\right)\left(x,t\right).\end{cases}\\(eq. 2)\end{equation} La seconda equazione deriva dall'equazione di continuità e dal fatto che \[ u=\frac{1}{2}\nabla ln\rho.\] 

Meccanica stocastica Vs Meccanica quantistica

Se si volesse risolvere il sistema di equazioni (eq. 2) si arriverebbe alla conoscenza di u e v; quindi tramite la (eq. 3) si può determinate il campo b. A questo punto si ottengono una varietà di equazioni differenziali stocastiche che risolvete permettono di individuare il percorso della particella o nella peggiore delle ipotesi ad ottenere comunque la forma della legge del moto. Questo sistema può essere risolto servendosi di un semplice cambiamento di variabili. Ipotizziamo infatti che se v sia esprimibile come un gradiente (abbiamo visto infatti che anche u è un gradiente): definendo \[ R=\frac{1}{2}ln\rho\] di modo che risulti \[\nabla R=\left(\frac{\hbar}{m}\right)u .\] Supponiamo quindi che v sia un gradiente, allora esiste una funzione S, definita a meno di una costante, tale che \[ \nabla S=\left(\frac{\hbar}{m}\right)v\] Al fine di risolvere il sistema (eq. 3) imponiamo il cambio della variabile dipendente dato da \[ \psi=e^{R+iS},\] e si può dimostrare che il sistema non lineare si riduce all'equazione \[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi\left(x,t\right)=\left(-\frac{\hbar}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V\left(x\right)\right)\psi\left(x,t\right),\] che è proprio l'equazione di di Schrödinger. Inoltre, dalla definizione \[ \rho\left(x,t\right)=|\psi\left(x,t\right)|^{2}\] si ha che per ogni dominio A in 3, la probabilità che xt  ∈ A è data da \[ Pr\left(x_{t\:}\in\, A\right)=\int_{A}|\psi\left(x,t\right)|^{2}dx.\] Questo significa che se uno si pone la domanda: "la particella è in A al tempo t ?" uno otterrà la stessa risposta sia tramite la funzione d'onda Ψ(x,t) che dal calcolo di xt. In tutte le misurazioni che sono in ultima analisi delle misure di posizione, la meccanica quantistica e la meccanica stocastica fanno la stessa predizione. In ogni caso, nella meccanica stocastica la funzione d'onda \psi non ha un ruolo fondamentale, ma proviene da un conveniente cambio di variabili che semplifica la risoluzione di un sistema di equazioni non lineari. La legge dinamica, come l'equazione stocastica di Newton, è una caratteristica che pone la meccanica stocastica di Nelson lontana dalla teoria dell' "onda pilota" di Bohm. Nella teoria di Bohm, la funzione d'onda entra direttamente e gioca un ruolo centrale. Nella meccanica stocastica, la funzione d'onda può essere vista come non più che un conveniente strumento per risolvere l'equazione di Newton stocastica. É un incredibile colpo di fortuna che uno possa ricavare le probabilità associate all'equazione stocastica di Newton risolvendo l'equazione lineare di Schrödinger. (Secondo l'autore, non c'è nessuna ragione per credere che via sia qualcosa in più di questo.) La scoperta di Nelson si presta ad uno studio più dettagliato e all'aggiunta di alcuni dettagli. Nella meccanica quantistica ortodossa, una volta che si è risolta l'equazione di Schrödinger il lavoro è fatto. Le cose sono leggermente differenti nella meccanica stocastica. Si possono costruire infatti le seguenti funzioni \[ u\left(x,t\right)=Re\left(\frac{\nabla\psi\left(x,t\right)}{\psi\left(x,t\right)}\right)\qquad e\qquad v\left(x,t\right)=Im\left(\frac{\nabla\psi\left(x,t\right)}{\psi\left(x,t\right)}\right),\] formare: \[b\left(x,t\right)=u\left(x,t\right)+v\left(x,t\right)\] e risolvere l'equazione differenziale stocastica \[ b\left(x,t\right)=b\left(x_{t},t\right)dt+\sqrt{\frac{\hbar}{m}}dw_{t}\] per determinare proprio il percorso seguito dalla particella. (Nella meccanica quantistica infatti quest'ultima affermazione è totalmente priva di senso).

Conclusioni

È un caso che i processi di Markov con la legge dinamica F=ma siano formalmente equivalenti all'equazione Schrödinger e che la meccanica quantistica ci dia una relazione di indeterminazione formalmente identica alla relazione del moto browniano? Sin dalle prime formulazioni, si era intuito che la meccanica quantistica era incompleta: se fosse stato possibile specificare ulteriori variabili per descrivere qualche meccanismo interno fondamentale, ciò che ora è soltanto probabile sarebbe magari divenuto “certezza”, rivelando così un determinismo soggiacente. Sebbene vi sia molta letteratura sulle teorie delle “variabili nascoste”, nessuna di queste ha avuto successo nel dare un'interpretazione completamente soddisfacente di tutta la meccanica quantistica. Le formulazioni stocastiche della meccanica quantistica sono una via di mezzo fra la meccanica quantistica tradizionale e la teoria delle variabili nascoste, ipotizzando infatti interazioni casuali fra le particelle quantistiche e il mezzo ipotetico nel quale esse si muovono. L'idea che una particella possa essere soggetta ad un moto browniano classico è molto suggestiva, anche se prima sarà necessario riconciliare questa idea col fatto che le traiettorie delle particelle quantistiche non sono osservabili, poiché qualsiasi tentativo di osservare la particella quantistica richiede un'interazione che perturba il sistema osservato. A questo punto ci piacerebbe credere che le probabilità siano reali, positive e normalizzabili, e che prevedano la frequenza con cui si verificano gli eventi reali. Per esempio, potremmo assegnare una distribuzione di probabilità a tutte le traiettorie possibili di una particella browniana. In meccanica quantistica, però, non vi è motivo per supporre l'esistenza di una distribuzione positiva e reale di probabilità per una data traiettoria, non potendosi eseguire più di una misura sullo stesso processo (una singola misura sulla particella causa la realizzazione di un evento osservabile, per il quale otteniamo una densità di probabilità che è sia reale che normalizzata.) A differenza della meccanica classica, la meccanica quantistica è selettiva, nel senso che fa distinzione fra ciò che è fisicamente osservabile e ciò che è matematicamente “misurabile”. Così la meccanica quantistica stocastica associa un processo, descritto da un equazione del tipo di quella di Langevin a ogni stato quantistico dinamico, e tutte le medie sono eseguite con una misura complessa delle probabilità. La teoria è di per se selettiva poiché risultano fisicamente osservabili solo quantità medie che siano reali. L'influenza dei campi esterni sul sistema entra attraverso la definizione del moto di deriva, e la formulazione usuale della meccanica quantistica mette in relazione il campo esterno con la funzione d'onda. In questo senso si può dire che la funzione d'onda determina lo stato del sistema, poiché specifica il moto di deriva. Quindi non vi è alcuna differenza fisica tra il moto browniano classico e la meccanica quantistica; la sola differenza è di carattere matematico: l'uso di misure di probabilità complesse separa le osservazioni che hanno probabilità reali positive di verificarsi da quelle non osservabili, che risultano poi essere quantità complesse. É un merito e un vantaggio dell'impostazione stocastica, che tutti i concetti probabilistici vengano introdotti completamente classicamente. Se non altro il moto browniano ha fornito un modo per interpretare e capire da un punto di vista fisico cose note da tempo, ma astratte.

Domande aperte e spunti di riflessione

Ci sono tante domande che sorgono naturali a questo punto, per esempio 

• C'è un modello ragionevole che individui la causa o la sorgente delle fluttuazioni quantistiche?

• Come si possono trattare all'interno della meccanica stocastica le osservabili diverse dalle variabili di posizione? Come il momento o le variabili di spin? 

• Dove emerge la tipica natura discreta, per esempio dei livelli energetici, che caratterizza la meccanica quantistica?

• Una volta ottenuti i percorsi delle particelle, come possiamo affermare che questi siano fisicamente ragionevoli?

• Esiste una estensione alla teoria relativistica dei campi? La meccanica stocastica può aiutare a formulare una teoria effettiva della gravità quantistica?

A queste domande e a molte altre si spera di poter dare delle risposte esaustive e coerenti, per poter completare la teoria, di modo che possa magari prevedere fenomeni nuovi non previsti dalla meccanica quantistica o comunque fare chiarezza su alcune questioni ancora aperte della fisica del microscopico e non solo.

Bibliografia 

• Edward Nelson, Dynamical Theories of Brownian Motion, Princeton University Press.
• Roger Mansuy, Marc Yor, Aspect of Browian motion, Springer.
• Laurie M. Brown, Feynman Thesis A new approach to quantum mechanics, World Scientific.
• Kai Lai Chung , John B. Walsh , Markov Processes, Brownian Motion, and Time Symmetry, Springer.
• Edward Nelson, Quantum fluctuation, Princeton Series in physics.
• R. P. Feynman, A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill.
• R. Furth, A. D. Gowper, Investigations on the theory of brownian movement, Dover Publications.
• Stanley P. Gudder, Stochastic Methods in Quantum Mechanics, North Holland-New York.