La sezione d'urto "plettro-bicchiere"

In questo post volevo parlarvi di un fatto curioso capitatomi questo fine settimana durante un concerto del gruppo scozzese dei Biffy Clyro al Live Music Club di Trezzo sull'Adda (MI). 

Naturalmente il fatto accaduto ha un rilevanza, seppur marginale, con la fisica nel raccontarvelo c’è quindi l’intento di comunicare come, la quasi totalità dei fenomeni che ci accadono, possono essere analizzati con un approccio scientifico e razionale. Ma entriamo nel vivo del racconto: durante l’esibizione del “gruppo spalla” i Walking papers, io e il mio amico ci siamo recati al bancone del bar, situato su un lato del locale, per acquistare da bere. Appena ricevute le bevande, un bicchiere di birra da 0.40L (e un bicchiere di Montenegro), ci siamo apprestati a ritornare approssimativamente al centro del locale dove ci aspettavano gli altri nostri due amici. Contemporaneamente all’atto dell’acquisto delle bevande il gruppo spalla finiva la sua esibizione e procedeva ai classici saluti e all’usuale lancio dei plettri per la chitarra* quando ad un certo punto sentiamo un rumore nelle nostre vicinanze e riceviamo alcuni schizzi di birra o qualche altro liquido.  Un po’ confusi ci guardiamo e ci chiediamo che cosa mai fosse accaduto, personalmente non avevo compreso la situazione, avevo sentito un colpo nel mio bicchiere di plastica** (di Montenegro) e poi avevo ricevuto degli schizzi ed ho pensato subito che esso fosse attribuibile al quel “balzetto” indotto da un bicchiere deformato che  ritorna nella sua configurazione originale e produce uno schizzo a seguito della agitazione della superficie del liquido contenuto al suo interno. Ho comunicato tempestivamente la mia interpretazione del fenomeno al mio amico il quale tuttavia mi ha guardato e mi ha riferito: “no! ti dico che è entrato un plettro nel mio bicchiere”; io l’ho guardato stranito e un po’ incredulo perché avevo sentito una botta nel mio bicchiere ed ero convinto dipendesse quindi dal mio e non che gli schizzi provenissero dal suo bicchiere o da un altro, quando però egli ha recuperato con le sue stesse mani il plettro all’interno del suo bicchiere mi son dovuto “arrendere” all’evidenza. Ebbene si, un plettro lanciato dal palco da alcuni componenti del gruppo, aveva dapprima colpito il mio bicchiere per poi dirigersi all’interno del bicchiere di birra del mio amico producendo degli schizzi. Tutto questo ci ha lasciato abbastanza perplessi e abbiamo riso dell’accaduto, passando subito al vaglio i parametri coinvolti per valutare una prima stima della probabilità del fatto e classificandolo in maniere affrettata quantomeno come “poco probabile”, ma dal momento che la situazione non permetteva un approfondimento “serio”, mi son ripromesso di valutare meglio la questione in separata sede, ed eccomi qui a fare un po’ di stime :)

Quali sono i parametri coinvolti per stimare la probabilità di un simile evento?

La probabilità che un plettro lanciato dal palco finisca all'interno di un bicchiere deve dipendere naturalmente da:

-Il numero di persone (o meglio la densità di persone) che in quel momento possedevano un bicchiere tra le mani.

Tuttavia il numero di persone "interessate" non corrisponde al numero totale dei presenti al concerto, dal momento che vi è un limite imposto dalla gittata del plettro (la distanza massima raggiunta dal plettro), che interessa quindi solamente le persone che si trovano ad una certa distanza dal palco.

Divertiamoci a fare quindi la stima di queste grandezze.

Prima di tutto servono le dimensioni del locale: non avendole trovate da nessuna parte in internet ho proceduto col fare una stima utilizzando google maps e lo “strumento misurazione delle distanze” fornito da Google. Dall’immagine panoramica qui sotto  ho stimato una lunghezza totale del lato maggiore del locale pari a circa 44 metri, mentre il lato minore ha le dimensioni di 25 metri. 

Visione dall'alto del locale "Live Music Club" e dimensioni.

Dalla pianta 3D del locale si riesce quindi a stimare l’area "calpestabile", ottenuta escludendo lo spazio occupato dal palco, che è di poco inferiore a 35x25 metri quadrati e cioè di circa 875 metri quadrati. 

Pianta 3D del locale del concerto: il Live Music Club di Trezzo sull'Adda.

Per stimare il numero di persone presenti ho fatto una rapida ricerca sulle norme sull'affollamento dei locali ed ho trovato che la densità di affollamento massima è di (riporto testualmente):

 b) nei locali, di cui all’art. 1, comma 1, lettere e), e f), pari a quanto risulta dal calcolo in base ad una densità di affollamento di:

- 0,7 persone per metro quadrato al chiuso;

-1.2 persone per metro quadrato all’aperto.

Da cui sembrerebbe che la capienza del locale debba essere intorno a (875x0.7)≈600 persone, tuttavia la sensazione personale è che la densità di persone all’interno fosse nettamente maggiore, di almeno 3-4 persone per metro quadrato, come testimoniano queste foto del concerto.

Folla presente al concerto dei Biffy Clyro al Live Music Club.

Si deve considerare che la densità non è uniforme in quanto cresce con l’avvicinarsi al palco per cui probabilmente una stima realistica di una densità media di 1.2 persone per metro quadrato (stima peraltro confermata da questo documento sulla capienza massima delle discoteche) che fa si che si abbia una capienza massima di circa 875*1.2≈1000 persone. Una stima di 1000 persone, dal momento che il concerto risultava sold-out, sembra ragionevole ed ha il pregio di essere facilmente trattabile. Ritorniamo quindi al calcolo delle probabilità dell’evento “plettro all’interno del bicchiere”. Il calcolo dovrebbe tenere però in considerazione lo spazio “utile”, quello cioè delimitato dalla gittata del lancio del plettro che verosimilmente non può arrivare a coprire tutta l’estensione dei 35 metri del locale in lunghezza, ma diciamo che lo limitiamo ad un massimo di 15 metri (ed è già un gran bel lancio)*. Noi ci trovavamo approssimativamente a circa 12 metri (all'incirca nel pallino in rosso nella pianta 3D) vicino al bancone del bar. Per cui l’aera totale da considerare è pari a circa 25*15 metri quadrati, cioè meno di 400 metri quadrati. Questa zona vicina al palco è anche quella con maggiore densità, diciamo di almeno di 1.2 persone a metro quadrato, quindi al momento del lancio un numero pari a circa 500 persone si trovavano nell'area interessata al lancio e rappresentavano i candidati ideali del gioco: “centra il bicchiere con il lancio del plettro”. 

Se consideriamo ora che della totalità delle persone interessate almeno 1 persona su 5 aveva in mano un bicchiere**, ne consegue che circa 125 persone tenevano in mano un bicchiere nel momento del lancio e che sono quindi stanno realmente partecipando al “gioco”. L’ultimo ingrediente utile per il calcolo delle probabilità è naturalmente la stima dell’area del singolo bicchiere. Un bicchiere di birra di plastica con una capienza da 0.4 L (per esempio si veda questo link) ha un diametro di circa 9 cm, che corrispondono ad un’area di circa 0,006 metri quadrati. 

Bicchiere da birra da 40 cL.

L’area coperta da tutti i bicchieri presenti nella parte del locale “accessibile” al lancio del plettro era dunque di circa 125x0.006≈0.75 metri quadrati. La probabilità che il plettro finisse all’interno di un bicchiere qualsiasi è dunque pari al rapporto dell’area totale dei bicchieri presenti diviso l’area totale accessibile e cioè di 0.75/400≈0,0018, cioè di circa 1/500.

La probabilità che invece un plettro entri in un bicchiere preciso (quello del mio amico per esempio) naturalmente è più bassa e scende a circa 0,000015 cioè a 1/62500. 

Non proprio un evento probabile come già avevamo intuito da subito io e il mio amico. Detto in altri termini se si effettuano 62500 lanci, nelle medesime condizioni di cui sopra, solo uno entrerà effettivamente nel tuo bicchiere. E dal momento che se anche uno è un gran appassionato di musica e prende parte a circa 10 concerti all'anno sarebbero necessari in media 6000 anni prima che un evento simile si ripeta alla stessa persona, per cui caro amico mio, si era piuttosto improbabile che avvenisse ;)  

La stima non ha le pretese di essere davvero realistica, esistono così tanti fattori che non stiamo considerando e tutto il discorso è semplicistico e risente di possibili errori e stime grossolane per esempio  l’angolo formato tra la direzione di incidenza del plettro e la direzione normale alla superficie (la bocca) del bicchiere, che naturalmente non risulta pari a 90 gradi.  Questo riduce di parecchio la superficie “vista” dal plettro, diminuendo quindi le probabilità di successo per l’evento “plettro all’interno del bicchiere” rispetto all’evento “plettro fuori dal bicchiere”. La stima fatta qui va intesa “realistica” nel caso in cui i plettri vengano lanciati dal soffitto casualmente all’interno di uno spazio di 400 metri quadrati dove vi siano distribuiti, altrettanto casualmente, 125 bicchieri di diametro pari a 4.5 cm. Un altro fattore importante da tenere in considerazione è il numero di plettri che sono stati lanciati, che verosimilmente è diverso dall’unità e si avvicina di più alle decine. Questo fattore solleva le probabilità ma in maniera grossolana possiamo dire che bilancia il precedente abbassamento indotto dall’angolo di incidenza non perpendicolare. Una fattore che invece abbassa drasticamente la probabilità dell’evento è il fatto che il plettro ha rimbalzato prima sul mio bicchiere e poi è entrato su quello del mio amico tuttavia non saprei quantificare questo fattore e quindi lo lascerò volutamente come “parametro libero” da far stimare ai lettori se ne avranno voglia ;)  Per concludere volevo lasciarvi con un piccolo confronto con delle probabilità a cui tutti o quasi siamo abituati e cioè quelle relative al gioco del lotto (consultabili in questo link). 

Come si può vedere nella tabella una probabilità di circa  1/62500 corrisponde a quella di realizzare una quaterna giocando 5 o 6 numeri (rispettivamente di 1/103167 e 1/ 34.715). Scherzando con il mio amico, subito dopo l’accaduto, gli dissi che la probabilità era pari a quella di un terno (1/11748) e lui mi rispose che, a detta sua, era inferiore... ora posso comunicargli che attraverso una stima più accurata aveva ragione lui :D

Il titolo del post "la sezione d'urto plettro-bicchiere" si riferisce ad una grandezza fisica detta sezione d'urto appunto, che quantifica l'interazione tra le particelle. Esse sono parametrizzate da una "sezione o area di interazione" che è misurata in barn (1 barn=10^(-24) cm^2). In un post successivo magari parleremo di questa grandezza. :)

P.s. tutte le stime finora fatte sono passibili di errori di valutazione non trascurabili che possono far variare notevolmente  i numeri presentati. Esse non hanno quindi la pretesa di essere realistiche, l’intento vuole essere quello di divertirsi un po’ con i numeri e con gli “eventi non comuni”, utilizzando il calcolo delle probabilità, un po’di fisica ma soprattutto il buon senso e il senso della misura. Consigli e correzioni ben accette :)

* Nel 2008, il record mondiale di card throwing, cioè il lancio di carte da gioco è stato raggiunto da Rick Smith Jr., con il suo lancio di 216 piedi (circa 66 metri) a 92 miglia orarie (circa 41 metri/secondo). Si veda http://it.wikipedia.org/wiki/Lancio_delle_carte.

** (se considero come campione di prova quello costituito dai miei amici questa proporzione risulta sottostima in quanto tutti e 4 avevamo un bicchiere in mano in quel momento :P per cui 4/4)