Perché gli oggetti cadono?

Perché gli oggetti sulla Terra cadono verso il centro?

La domanda è di certo pretenziosa, lo so bene, ad un “orecchio non allenato” forse potrebbe sembrare fin troppo banale, anche un bambino risponderebbe in maniera naturale invocando la forza di gravità: “i corpi cadono perché esiste una forza, la forza di gravità che li attira!”, o meglio, i due corpi si attirano, ed essendo la Terra di massa incommensurabilmente più grande rispetto a qualsiasi oggetto con il quale abbiamo esperienza quotidiana,  il risultato è quello di un netto spostamento dell’oggetto verso la Terra stessa senza che quest’ultima si sposti sensibilmente verso lo stesso oggetto. Questa è di certo un'ottima risposta, anzi, questa è la base per la comprensione del nostro universo, tanto da aver portato  Isaac Newton a capire che quella stessa forza che era responsabile della caduta degli oggetti sulla Terra, dovesse essere la stessa che teneva il nostro sistema solare unito e che permetteva ai pianeti di ruotare attorno al sole, proprio nei modi che erano osservati con i primi telescopi e non solo. Per quanto riguarda la particolare illuminazione che permise a Newton di arrivare a questa rivoluzionaria conclusione, si racconta che nel 1666, l'annus mirabilis, egli fosse seduto sotto un melo nella sua tenuta a Woolsthorpe, quando una mela gli cadde sulla testa. Ciò, sempre secondo la leggenda, gli fece pensare alla gravitazione e al perché la Luna non cadesse sulla Terra come la mela. Iniziò a pensare dunque a una forza che diminuisse con l'inverso del quadrato della distanza, come l'intensità della luce. Questa in realtà è un'esagerazione di un episodio narrato da Newton stesso secondo il quale egli sedeva ad una finestra della sua casa (Woolsthorpe Manor) e vide una mela cadere dall'albero. Uno scrittore suo contemporaneo, William Stukeley, registrò nelle sue "Memoirs of Sir Isaac Newton's Life" una conversazione con Newton a Kensington nel 1726, nella quale Newton ricordava:

«quando, per la prima volta, la nozione di forza di gravità si formò nella sua mente, fu causato dalla caduta di una mela, mentre sedeva in contemplazione. Perché la mela cade sempre perpendicolarmente al terreno? - pensò tra sé e sé- Perché non potrebbe cadere di lato o verso l'alto, ma sempre verso il centro della terra.»

E fu così che nel terzo libro dei Principia, chiamato "Sul sistema del mondo", Newton espone la legge di gravitazione universale che agisce, secondo Newton, in ogni luogo e per ogni corpo. La forza di attrazione gravitazionale su un corpo di massa m, generata dal campo gravitazionale di un corpo di massa M, è data da:
\[\overrightarrow{F}=-\frac{GM\cdot m}{r^{2}}\cdot\frac{\overrightarrow{r}}{|r|}\]

dove r è il vettore che congiunge i centri di massa (da M a m), e G è la costante di gravitazione universale che fu determinata sperimentalmente da Henry Cavendish nel 1798. 

Tuttavia sulle cause di questa attrazione Newton (almeno ufficialmente) non si pronunciò. Egli espresse la celebre frase «Hypotheses non fingo»

“I have not been able to discover the cause of those properties of gravity from phenomena, and I frame no hypotheses; for whatever is not deduced from the phenomena is to be called a hypothesis, and hypotheses, whether metaphysical or physical, whether of occult qualities or mechanical, have no place in experimental philosophy” (Lettera a Robert Hooke,15 Febbraio 1676)

Inoltre, in corrispondenze private, Newton qualche volta suggerisce che la forza di gravità potesse essere dovuta a qualche influenza immateriale e quindi, in ultima analisi, all’azione di Dio, come si legge in questo suo passaggio:

“Tis inconceivable that inanimate brute matter should (without the mediation of something else which is not material) operate upon & affect other matter without mutual contact.”

E quest’altro:

“Gravity explains the motions of the planets, but it cannot explain who set the planets in motion. God governs all things and knows all that is or can be done.”

Un atteggiamento diverso è invece quello che accompagnò Albert Einstein quando iniziò a riflettere sulla gravità. Agli inizi dei suoi lavori sulla gravità incontrò serie difficoltà, egli fu inizialmente anche scoraggiato da uno dei suoi più cari amici, Michele Besso, che alla notizia che Einstein si stesse occupando del problema della gravità rispose che sarebbe stato un serio problema occuparsene e che nessuno dopo Newton aveva “osato” farlo. In ogni caso Einstein assolse in maniera egregia il suo compito e portò a compimento una delle opere più eleganti della fisica, la teoria della relatività generale che tutt’ora è la teoria più completa che abbiamo sulla gravità. Tuttavia Einstein, a differenza di Newton, ha cercato, se così si può dire, di indagare un po’ di più sul “perché” e non solo sul “come” del fenomeno gravità. Egli partì da quello che definì il pensiero più felice della sua vita, che riporto:

"Nel 1908, mentre cercavo di generalizzare la teoria della relatività speciale, mi venne in mente il pensiero più felice della mia vita nella seguente forma. Il campo gravitazionale ha solo esistenza relativa, in modo analogo al campo generato dall'induzione magnetoelettrica. Infatti per un osservatore che cade liberamente dal tetto di una casa, non esiste – almeno nelle immediate vicinanze- alcun campo gravitazionale. In effetti, se l’osservatore lascia cadere dei corpi questi permangono in uno stato di quiete o di moto uniforme rispetto a lui, indipendentemente dalla loro particolare natura chimica o fisica […] L’osservatore di conseguenza ha il diritto di interpretare il proprio stato come uno “stato di quiete”.

Grazie a questa idea, quella singolarissima legge sperimentale secondo cui in un campo gravitazionale tutti cadono con la stessa accelerazione, veniva improvvisamente ad acquistare un significato fisico profondo. Precisamente, se vi fosse anche solo un oggetto che cadesse nel campo gravitazionale in modo diverso da tutti gli altri, allora, grazie ad esso, un osservatore potrebbe accorgersi di trovarsi in un campo gravitazionale e di stare cadendo in esso. Se però un oggetto del genere non esiste, come si è mostrato sperimentalmente con grande precisione, allora l’osservatore non dispone di elementi oggettivi che gli consentano di stabilire che si trova in caduta libera in un campo gravitazionale. Piuttosto ha il diritto di considerare il proprio stato come uno stato di quiete e il proprio spazio ambiente come libero da campi, almeno per quanto riguarda la gravitazione. L’indipendenza dell’accelerazione di caduta dalla natura dei corpi, ben nota sperimentalmente, è pertanto un solido argomento a favore dell’estensione del postulato di relatività a sistemi di coordinate in moto non uniforme l’uno relativamente all'altro. Questo concetto prende il nome di Principio di Equivalenza.

E’ per illustrare questa idea, non per "dimostrare" il Principio di Equivalenza, che Einstein fece i suoi “gedankenexperiment” col suo famoso ascensore, che ha ispirato anche Paolo Pani al fine di dar vita a questo Blog. Ed è da queste considerazioni brillanti che Einstein partì per costruire la sua teoria. Una teoria che ha qualcosa di diverso: Einstein infatti conferisce un carattere prettamente geometrico alla gravitazione e interpreta la gravitazione come una “curvatura dello spaziotempo”. 

La teoria afferma infatti che lo spaziotempo viene curvato dalla presenza di una massa e un'altra si muove a causa di tale curvatura. Secondo la Relatività Generale, la cosa che chiamiamo “gravità” è in realtà una manifestazione della forma dello spazio e del tempo. La Luna orbita attorno alla Terra non perché esista una forza che la attira, ma perché si muove lungo la traiettoria più diretta possibile (geodetica) in uno spaziotempo deformato dalla massa della Terra.

Ed è proprio questo il punto che intendevo affrontare in questo oramai lungo post, infatti ai fini divulgativi si cerca di spiegare questo fenomeno in un modo che può condurre a dei pregiudizi pericolosi. Quello che si fa è di raffigurare la situazione del sistema Terra-Luna o qualsiasi altro sistema celeste in mutua attrazione, attraverso l’analogia della palla (che fa le veci dell’oggetto celeste più massivo, nel nostro esempio la Terra) che deforma un telo elastico teso; un’altra pallina (che fa le veci della Luna) subisce l’effetto di tale curvatura e quindi cade sopra la palla al centro del telo elastico. Questa analogia è molto suggestiva e permettere di stigmatizzare in maniera molto intuitiva e veloce l’essenza della teoria della relatività generale, ma tuttavia contiene un'insidia concettuale: la pallina cade sull’altra perché l’esperimento è condotto in presenza della gravità e la stessa curvatura del telo è provocata dal peso che la palla centrale esercita sul telo, mentre nella relatività generale la curvatura dello spaziotempo prodotta da una massa non è dovuta ad una forza esterna supplementare che fa si che il telo elastico (il nostro spaziotempo) venga incurvato ad opera del peso della Terra. Questa visione è totalmente priva di senso proprio perché il peso della Terra è l’effetto della curvatura e non la causa. 

Ma se non possiamo avvalerci in senso stretto dell’analogia del telo come possiamo cercare di capire in maniera intuitiva il “motivo” per il quale gli oggetti cadono? Quando ho iniziato a pensarci in quinta superiore mi è venuto in mente che un modo euristico per spiegare la caduta di un corpo ad opera della curvatura dello spaziotempo senza invocare le forze* (ricordo che in relatività generale il concetto di forza non è presente nel modo usuale) potesse essere quello di ragionare sull'azione della curvatura, causata dalla presenza di un oggetto massivo, su un regolo campione. La curvatura dello spaziotempo può essere allora visualizzata in questo modo, cioè come la variazione della stessa lunghezza assunta dal regolo campione che venga spostato da un punto all’altro dello spaziotempo. Detto in altri termini, se il teatro (lo spaziotempo) si modifica, per esempio accorciandosi, anche gli attori al suo interno devono seguire lo stesso destino. Poniamo quindi inizialmente il regolo campione ad una distanza arbitrariamente grande (in modo tale che l’effetto della curvatura possa essere trascurato): in questa disposizione esso assumerò la sua “lunghezza reale” che denoteremo con L. Se avviciniamo il regolo alla sorgente del campo, la nostra stella nell'esempio, la curvatura dello spaziotempo sarà più pronunciata e questo si rifletterà in una diminuzione della lunghezza del regolo, che ora assumerà una lunghezza L’, che risulterà minore di L (L'<L).

Questo perché appunto la lunghezza degli oggetti non è una proprietà intrinseca degli stessi, ma dipende appunto dallo spaziotempo in cui vengono “immersi”. Se quindi lo spaziotempo nelle vicinanze della stella è “stirato”, un regolo nelle sue prossimità subirà questo stiramento “accorciandosi” rispetto alla lunghezza che assumerebbe se fosse lontano dalla stella dove lo spaziotempo risulti piatto (in termini più specifici si parla di metrica). Se ora visualizziamo la sequenza dello stesso regolo in diversi punti dello spaziotempo, così come nell’immagine sotto, possiamo notare che, per il solo fatto di aver spostato il regolo da un punto lontano dalla sorgente ad uno vicino, esso ha subito un accorciamento. Se ora facciamo un passaggio logico più azzardato e invece che associare questo accorciamento alla curvatura lo associamo al movimento, facendo appello all’altro capolavoro di Einstein, la teoria della relatività speciale, comprendiamo che la causa di un accorciamento del regolo può essere imputata al fatto che il regolo di lunghezza L abbia una velocità (Vi) minore, nella posizione lontana dalla sorgente, rispetto a quella che avrebbe il regolo in prossimità della sorgente (Vf). Se ora pensiamo che il regolo sia lo stesso siamo in grado di concludere che, per effetto della curvatura dello spaziotempo, che ha “costretto” lo stesso regolo ad accorciarsi nell’atto di avvicinarsi alla stella (fonte della curvatura), il regolo abbia dovuto aumentare la sua velocità e cioè debba necessariamente “cadere” sotto l’effetto della curvatura. 

Nella figura è mostrato schematicamente l'effetto  bidimensionale di una stella sullo spaziotempo. Esso viene curvato ed assume una forma ad imbuto. La linea con le relative tacche rappresentano una sorta di proiezione del profilo curvo, si può notare l'accorciamento dello spaziotempo in funzione della distanza dalla stella segnalato da un  infittimento delle tacche in prossimità della stella. Un regolo campione (in giallo) spostato attraverso lo spaziotempo sarà costretto ad assumere un lunghezza che è proporzionale alla "quantità" di spaziotempo a disposizione. Questo provoca un accorciamento dello stesso regolo man mano che si avvicina alla stella.

Se interpretiamo il conseguente accorciamento del regolo non come un effetto dello stiramento dello spaziotempo, ma come un effetto dinamico della relatività speciale, siamo portati a concludere che il regolo, nella posizione più lontana rispetto alla stella, deve necessariamente avere una velocità minore rispetto allo stesso regolo che si trovasse in una posizione vicina. Questa sequenza di immagini rappresenta nient'altro che la caduta del regolo verso la stella con un conseguente aumento della velocità.

Naturalmente anche questa analogia naif non è esente da insidie concettuali, infatti, dal momento che la serie di istantanee con i diversi regoli di lunghezze differenti in funzione della loro distanza con la sorgente del campo, non ha una direzione del tempo definita, uno potrebbe anche interpretare questa sequenza come un regolo che parta dalle vicinanze della stella con una grande velocità e che la diminuisca invece allontanandosi della stella, mano a mano che raggiunge la configurazione con una lunghezza maggiore. Questo però non rispecchia la realtà fisica del fenomeno, per cui la nostra speculazione potrebbe essere spinta ai massimi livelli, affermando che sia proprio la gravità a definire una direzione privilegiata del tempo, che è proprio quella che conduce appunto alla situazione descritta nel primo esempio, ma questa è tutta un’altra storia.

Ritornando alla nostra analogia, abbiamo visto come il concetto della curvatura dello spaziotempo ad opera delle masse, con il conseguente cambiamento della metrica e quindi, in ultima analisi, delle distanze, conduce ad una reinterpretazione della lunghezza di ipotetici regoli campioni dislocati in zone diverse. La diversa curvatura è così interpretata come una differente lunghezza dei regoli in funzione dell’intensità del campo gravitazionale (una maggiore intensità si traduce in una lunghezza minore di un regolo rispetto a quella che avrebbe in una zona dove il campo ha un’intensità minore). L’unione di questo concetto con la relatività speciale, che ci permette invece di interpretare la contrazione delle lunghezze come a un effetto della velocità relativa tra osservatori (nel nostro caso rappresentati dal regolo e dalla massa perturbatrice) ci autorizza a concludere che oggetti posti ad una certa distanza dalla stella inizino a “cadere”, cioè ad aumentare la loro velocità e quindi la loro energia cinetica avvicinandosi alla stessa, proprio per questo motivo.

 

Anche se ho provato a dare una spiegazione intuitiva sul perché gli oggetti cadono naturalmente rimangono tante domande a cui non si è data una risposta nemmeno qualitativa. Perché infatti le masse modificano lo spaziotempo? Forse alcune domande non otterranno mai una risposta ultima e ad ogni risposta data scaturiranno altre domande in una catena infinita ed il perché ultimo delle cose rimarrà celato. Tuttavia il grado di comprensione della gravità da Newton ad Einstein è migliorato notevolmente, si è passati dal descrivere la legge della forza gravitazionale senza azzardare ipotesi ad indagare anche parzialmente sul perché esista una tale forza ed interpretarla in termini di una curvatura. Ed è forse questo lo scopo di una scienza matura, aggiungere sempre più tasselli che migliorino costantemente la conoscenza delle leggi della natura, fino ad arrivare magari alla comprensione “del pensiero di Dio” così come amava dire Einstein.

 Nota: In realtà la risposta alla domanda sul perché gli oggetti cadono può essere ricercata in termini di un principio di minima azione o azione stazionara per essere più precisi, ma si va un pochino di più sullo specialistico e sicuramente non fornisce una risposta così intuitiva e facilmente visualizzabile del problema. Il principio di minima azione fu formulato per la prima volta da Maupertuis, in opposizione ai principi della dinamica di Newton. Egli partiva dall'osservazione che la natura dell'universo richiede un certo grado di economia, sostenne che le ipotesi formulate dai suoi predecessori non avevano individuato correttamente la quantità che la natura rendeva minima, che non era sicuramente né il tempo e nemmeno l'energia cinetica di Leibniz, ma semmai il suo integrale temporale, chiamata da lui, appunto, azione. 
« L'azione è proporzionale al prodotto della massa per la velocità e lo spazio. Ecco dunque il principio così saggio, così degno dell'Essere Supremo: appena si verifica un qualche cambiamento nella Natura, la quantità d'azione impiegata per questo cambiamento è sempre la minore possibile »  (Maupertius, Principio della minima quantità d'azione per la meccanica, 1744.)
Eulero invece adottò il principio del minimo sforzo, che corrisponde alla attuale definizione di energia potenziale, così che la richiesta di minimizzare l’azione in un sistema statico fosse equivalente al principio secondo cui un sistema di corpi in quiete assume lo stato che rende minima l'energia potenziale totale. Hamilton unificò le due definizioni, alla luce della trattazione di Lagrange della meccanica analitica, in una più generale che tenesse conto di entrambi i contributi, e che portasse effettivamente alle stesse conclusioni della meccanica Newtoniana.Molti problemi in fisica possono essere rappresentati e risolti in termini di principio d'azione: è infatti possibile dimostrare che il cammino della luce fra due punti è sempre quello che viene percorso nel tempo più breve (principio di Fermat del minimo tempo), oppure permette di studiare il cammino di un corpo in un campo gravitazionale (problema della caduta libera nello spaziotempo, la cui soluzione è una traiettoria geodetica). Inoltre da una particolare azione, quella  di Einstein-Hilbert, si può dedurre l'equazione di campo di Einstein, utilizzando appunto un principio di azione stazionaria. La deduzione delle equazioni del moto a partire da azioni fisiche presenta diversi vantaggi, tra i quali quello di permettere l'unificazione, tanto auspicata, con altre teorie di campo, che sono anch'esse formulate in termini di azioni fisiche, come per esempio la teoria di Maxwell.

* Il fatto che in relatività generale non si possa far utilizzo del concetto di forza così come siamo abituati in meccanica classica complica assai le cose, infatti la mente umana si è sviluppata in un contesto biologico che rende il concetto di forza familiare e farne a meno rende le cose complicate, soprattutto se si vuole arrivare alla soluzione di problemi, quali per esempio la determinazione delle orbite di sistemi binari, senza appellarci alla sfilza di calcoli che scaturisco dall'utilizzo corretto dell’apparato formale della relatività generale. Questo “problema” ha portato alcuni fisici a sviluppare dei potenziali chiamati “Potenziali Pseudo Newtoniani”, in cui si cerca di modificare il potenziale Newtoniano, che risulta comunque una buona base di partenza, tenendo però conto di alcune correzioni caratteristiche  che scaturirebbero se considerassero gli effetti più importanti della relatività generale. Uno dei più famosi è ad opera del famoso astronomo Bohdan Paczynski che si rese conto che un potenziale gravitazionale, correttamente scelto, può  imitare con precisione gli effetti della  relatività generale, che determinano il movimento della materia, per esempio vicino ad un buco nero. Il potenziale scelto, conosciuto oggi come "potenziale  di Paczynski-Wiita", ha dimostrato essere molto pratico. E' stato utilizzato da numerosi ricercatori nella teoria dell'accrescimento da buco nero, ed è diventato uno strumento standard in astrofisica relativistica. Il potenziale risultante ha una forma molto semplice

\[\phi=-\frac{GM}{r-R}\]  dove R rappresenta il raggio di Schwarzschild 

\[R=\frac{2GM}{c^{2}}\]

Il modello è un esempio della capacità di Paczynski di inventare "dal nulla" idee semplici e utili. Paczynski ha sviluppato il suo potenziale pensando che la differenza principale tra la gravità Newtoniana e quella Einsteiniana era la presenza delle singolarità. Ha così inserito questa singolarità, modificando il denominatore  del potenziale Newtoniano, con un termine che fosse singolare proprio per un valore pari al raggio di Schwarzschild. I calcoli portano a determinare, per esempio, l’ultima orbita circolare di un corpo attorno ad un oggetto compatto e si ricava essere   in corrispondenza della distanza tra i corpi pari a r=3R, che è in perfetto accordo con i calcoli  esatti della relatività generale (GR). Inoltre permette di stimare altre grandezze, con errori piccoli rispetto ai valori ottenuti con i calcoli in GR, con uno snellimento formale notevole.

Ringraziamenti: Volevo ringraziare Francesca Dordei per la lettura e revisione di questo post e per la stimolante chiacchierata in merito :)