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| La posizione di ogni particella e l'angolo dello spostamento determinano il tipo di suono prodotto. Credit: BBC News |
Per questo progetto Jonathan Howse dell'Università di Sheffield ha costruito un semplice microscopio per osservare i particolari "musicisti": minuscole particelle di polistirene, sfere con un diametro di un milionesimo di metro, che galleggiano in un liquido.
Un microscopio con una telecamera collegata è capace di seguire e registrare il movimento delle particelle animate dal moto browniano che le spinge avanti e indietro, mentre un software traccia i movimenti delle particelle fino ad un massimo di 8. In seguito l'artista Mark Fell trasforma questo flusso di dati in musica, convertendo questi specifici movimenti in delle note musicali.
L'algoritmo è abbastanza semplice: l'intensità del suono è correlata alla ampiezza del movimento della particella da un dato punto, mentre il timbro è funzione dell'angolo dello spostamento stesso.
I risultati secondo gli autori sono molto interessanti, come potete leggere (e ascoltare) a questo link.
Voi cosa ne pensate?
Cosa è il moto Browniano?
Nel 1827 il botanico inglese Robert Brown fu il primo a osservare nel microscopio i minuscoli e rapidi moti irregolari di piccoli granelli di polline sospesi nell'acqua, cioè quello che oggi è conosciuto come moto browniano . Il suo scopritore fu a ffascinato dal rapido moto oscillatorio dei granelli di polline e dal fatto che l'inaspettata apparente vitalità di queste molecole persiste lungamente dopo la morte della pianta. Le prime spiegazioni attribuivano la causa dei moti irregolari alle correnti termiche convettive all'interno del fluido di sospensione; tuttavia, se così fosse, ci si aspetterebbe che il comportamento di una particella sia correlato con quello delle particelle vicine. Le osservazioni però non confermavano quest'idea, anzi il comportamento di una particella appariva indipendente dal suo passato. Questo dilemma fu indubbiamente causa di grande confusione, in un periodo in cui i pilastri della scienza erano fondati sui principi della meccanica classica l'osservazione che il moto futuro è indipendente da quello passato, e che il moto è incessante, restò inspiegato per quasi un secolo. Verso la fine dell'Ottocento si era già messo in evidenza che il moto browniano era tanto più rapido quanto più piccole erano le particelle e quanto più bassa la viscosità del fluido. Anche gli aumenti di temperatura provocavano un aumento della frequenza delle oscillazioni, così che in qualche modo la causa del moto doveva essere imputata ai moti termici delle molecole del mezzo. A quei tempi, la teoria cinetica dei gas era già stata sviluppata grazie al lavoro di Clerk Maxwell e Ludwig Boltzamann, durante l'ultima metà del diciannovesimo secolo. Da tale teoria era noto che la temperatura di una sostanza è proporzionale all'energia cinetica media di agitazione delle molecole costituenti il mezzo. Se tale moto di agitazione potesse essere in qualche modo trasferito a molecole sufficientemente grandi da essere osservabili con un microscopio, ciò costituirebbe la prima evidenza della validità della teoria cinetica del calore.
L'equazione di diffusione.
Consideriamo il moto di una particella libera, sulla quale, cioè non agisce alcun campo di forze esterne; per determinare il moto della particella non basterebbe conoscere gli impulsi che essa riceve in un dato intervallo di tempo, ma occorrerebbe sapere anche la sua velocità iniziale. Per Einstein la conoscenza della velocità iniziale della particella browniana, rispetto a un qualsiasi intervallo di tempo di osservazione, rappresentava un dato insignificante in confronto al numero di urti che la particella riceve nello stesso intervallo di tempo. (In effetti la particella browniana subisce circa 10^{21} collisioni al secondo; quindi l'assunzione di Einstein è ampiamente giustificata.)
Facendo l'ulteriore assunzione di una distribuzione casuale delle posizioni molecolari e prendendo in considerazione intervalli di tempo lunghi rispetto all'intervallo di tempo medio fra due collisioni successive, Einstein giunse alla formulazione di un'equazione di diffusione, analoga a quella che descrive la conduzione termica, la cui soluzione fornisce la densità di probabilità che una particella browniana occupi una data posizione a un dato istante. Se considerassimo tale funzione nel caso di una particella che si trovi inizialmente nell'origine e diffonda in una sola direzione, la densità di probabilità si comporta in modo simile a una goccia di inchiostro che diffonde in un bicchiere d'acqua. In altre parole, potremmo immaginare la densità di probabilità come la distribuzione, lungo una direzione dello spazio, di una sostanza estranea in un mezzo omogeneo, e l'evoluzione di questa densità di probabilità nel tempo come la diffusione della stessa sostanza. Per avvicinarci di più al mondo reale, la posizione di un punto rappresentativo della sostanza a ogni dato istante dovrebbe essere descritto da una funzione casuale, associata al moto di ciascuna molecola della sostanza. La traiettoria deve avere necessariamente una forma estremamente complicate e discontinua, il che determina un carattere di vitale importanza del moto browniano: la velocità istantanea di un punto che descrive la traiettoria del processo non è definibile!
Comunque, in un intervallo di tempo finito, si può ottenere uno spostamento finito per il fatto che la velocità del punto rappresentativo inverte il suo segno con frequenza “molto alta”, mentre il punto si muove in entrambe le direzioni. Così, dall'osservazione di un grande numero di processi casuali, otteniamo un gran numero di punti rappresentativi che si spostano in maniera erratica, o casuale, come in un movimento a “zig-zag”, a causa delle interazioni con le particelle del mezzo. La pendenza di ogni tratto di cammino libero (lo “zig”) non è necessariamente uguale a quella dello di un altro (lo “zag”) e, con l'aumentare della frequenza delle interazioni, il “commino libero medio” delle particelle diminuisce. Al limite dell'idealizzazione matematica, in cui il cammino libero medio tende a zero, possiamo dire che il vettore spostamento di una particella browniano non è differenziabile in alcun punto; non possiamo cioè definire una velocità per il processo. Conseguentemente, tutto quello che possiamo fare è parlare di una densità di probabilità, che equivale ad avere una densità di punti costituenti una sorta di gas che diffonde. Naturalmente queste particelle di gas non possono essere ne create ne distrutte durante il loro moto e cioè equivale a dire che la probabilità si conserva; il valore della probabilità in una certa regione corrisponde al numero di punti in quella regione oppure, equivalentemente, corrisponde al tempo che in media ogni “punto browniano” trascorre in quella regione. Anche se questa descrizione costituisce un'astrazione limite dei processi che avvengono realmente in natura, è la sola che rende possibile allo stesso tempo l'introduzione di concetti probabilistici e l'interruzione della trasmissione tra passato e futuro. In altre parole, per descrivere il moto browniano, occorre simulare un processo senza “memoria” utilizzando quella che i matematici chiamano proprietà markoviana. Del resto, qualsiasi processo casuale anche con memoria, può essere decomposto in processi più elementari che godano della proprietà markoviana. Nella teoria di Einstein compare un solo parametro caratteristico -il coefficiente di diffusione- e Einstein derivò una formula in cui esso era espresso in termini del numero di Avogadro e di altre grandezze fisiche che potevano essere misurate in laboratorio. Einstein suppose che la diffusione delle particelle sospese nel liquido fosse governata da una condizione di “equilibrio dinamico” fra la forza osmotica che tende a sospingere le particelle dalle regioni a alta concentrazione alle regioni a bassa concentrazione, e una forza viscosa che tende a ritardare il moto delle particelle. La forza viscosa è proporzionale alla velocità della particella anziché alla sua accelerazione, poiché l'accelerazione iniziale subisce un rapido smorzamento in un fluido viscosa. Einstein voleva evitare il ricorso alla nozione di velocità ben definita della particella e la novità della sua trattazione consiste nel tentativo descrivere il moto delle particelle con ragionamenti probabilistici. Infatti l'analisi di Einstein prelude allo sviluppo della teoria matematica dei processi stocastici e l'eleganza del suo procedimento consiste nella fatto che la velocità del introdotta con la forza viscosa è puramente “virtuale”. La formula di Einstein per la diffusione si applica anche quando vi è solo una particella browniana, per cui non è possibile definire la concentrazione! Allora, semplicemente invertendo la formula di Einstein era possibile ottenere il numero di Avogadro dalla misura del coefficiente di diffusione di una sospensione colloidale di particelle sferiche di raggio approssimativamente uniforme. Considerando il numero di ipotesi introdotte nella derivazione di Einstein è veramente notevole che J. Perrin ottenesse un risultato sperimentale in accordo entro il 19 per cento con il valore effettivo del numero di Avogadro, dedotto per altre vie.
La teoria di Einstein
Nel periodo in cui apparve sulla scena Albert Einstein, nel 1905 (lo stesso anno in cui formulò la teoria della relatività ristretta, e in cui spiegò l'effetto fotoelettrico introducendo il concetto di “fotone”), era disponibile una notevole mole di dati sperimentali sul moto browniano. Ciononostante, Einstein era alla ricerca di fatti sperimentali che comprovassero l'esistenza di atomi di dimensioni definite e non conosceva quel fenomeno; i suoi sforzi lo portarono a prevederne l'esistenza su basi puramente teoriche, e a fornire la prima teoria quantitativa.
Ma entriamo ora più in dettaglio nella derivazione matematica della formula di Einstein. Ci sono due parti fondamentali del ragionamento di Einstein, una è di carattere matematico, ed il risultato è il seguente: sia data \[\rho=\rho\left(x,\, t\right)\] la densità di probabilità che una “particella browniana” sia in x al tempo t. Allora facendo alcune assunzioni probabilistiche (alcune di esse implicite) Einstein derivò l'equazione di diffusione \[\frac{\partial\rho}{\partial t}=D\triangle\rho\] dove D è una costante positiva, chiamata coefficiente di diffusione. Se la particella è in x=0 al tempo t=0 così che \[\rho\left(x,\,0\right)=\delta\left(x\right))\] allora \[\rho\left(x,\,0\right)=\frac{1}{\left(4\pi Dt\right)^{3/2}}e^{-\frac{|x|^{2}}{4Dt}}\,\,\,\,(0)\](nello spazio tridimensionale, dove |x| è la distanza Euclidea di x dall'origine).
La seconda parte dell'argomento, che mette in relazione D con altre grandezze fisiche, è fisica. In sintesi, si può descrivere in questo modo. Si immagini una sospensione di molte particelle browniane in equilibrio in un fluido, sulla quale agisce una forza esterna K. (La forza K può essere la gravità, ma il bello dell'argomento è che K è interamente virtuale.) In equilibrio la forza K è bilanciata dalla forza dovuta alla pressione osmotica della sospensione,
\[K=kT\,\frac{\mathrm{grad}\nu}{\nu}\,\,\,\,(1)\] dove ν è il numero di particelle per unità di volume, T la temperatura assoluta, e k è la costante di Boltzmann. La conoscenza di k è equivalente alla conoscenza del numero di Avogadro, e quindi delle dimensioni delle molecole. Il lato destro della eq. (1) è derivato applicando la teoria cinetica al gas di molecole. Le particelle browniane che si muovono nel fluido subiscono una resistenza dovuta all'attrito, e la forza K fornisce a ogni particella una velocità della forma
\[\frac{K}{m\beta},\] dove β è una costante dalle dimensioni di una frequenza e m è la massa della particella. Per cui \[\frac{\nu K}{m\beta}\] rappresenta il numero di particelle che passa in un'unità di area per unità di tempo per effetto della forza K. Dall'altra parte, se agisse solo la diffusione, ν avrebbe soddisfatto l'equazione di diffusione \[\frac{\partial\nu}{\partial t}=D\triangle\nu\] così che
\[-D\,\mathrm{grad\nu}\] sarebbe il numero di particelle che passa in un'unità di area per unità di tempo per effetto della diffusione. In una situazione di equilibrio dinamico, allora varrebbe che:
\[\frac{\nu K}{m\beta}=D\,\mathrm{grad\nu}.\,\,\,\,(2)\] Ora possiamo eliminare K e ν tra la eq. (1) e la eq.(2), ottenendo la formula di Einstein
\[D=\frac{KT}{m\beta}.\,\,\,\,(3)\]Questa formula si applica solamente quando non vi è alcuna forza e quando ci sono solo particelle browniane (cosicché ν non è definito).
In maniera analoga, se si dividono entrambi i lati della eq. (1) per mβ, e usando la eq. (3) si ottiene
\[\frac{K}{m\beta}=D\frac{\mathrm{grad}\nu}{\nu}.\] La densità di probabilità ρ non è altro che la densità numerica ν diviso il numero totale di particelle, quindi può essere riscritta come
\[\frac{K}{m\beta}=D\frac{\mathrm{grad}\rho}{\rho}.\] Siccome il lato sinistro dell'equazione rappresenta la velocità acquisita da una particella sotto l'azione della forza, allora
\[D\,\frac{\mathrm{grad}\rho}{\rho}\] è la velocità che deve possedere una particella per contrapporsi alla “forza di osmosi”.
Se le particelle browniane sono delle sfere di raggio a, la teoria della frizione di Stokes ci dice che \[m\beta=6\pi\eta a,\] dove η è il coefficiente di viscosità del fluido, così che in questo caso particolare abbiamo:
\[D=\frac{kT}{6\pi\eta a}.\] La temperatura T e il coefficiente di viscosità η possono essere misurati con grande accuratezza, se si conosce poi il raggio delle sfere usate come particelle browniane e ricavando D da osservazioni statistiche di moti browniani (usando la eq. (0) è possibile determinare la costante di Boltzmann k (o equivalentemente il numero di Avogadro).
Queste misure sono state eseguite con molta difficoltà da Perrin e Chaudesaigues. É piuttosto sorprendentemente, come accennato precedentemente, considerando il numero di ipotesi che son state fatte, che il risultato ottenuto per il numero di Avogadro concordi entro il 19% del valore moderno ottenuto altri mezzi. L'argomento di Einstein non fornisce una teoria dinamica del moto browniano, ma determina solo la natura del movimento e il valore del coefficiente di diffusione sulla base di alcune ipotesi. Smoluchowski, indipendentemente da Einstein, tentò di derivare una teoria dinamica, ed è arrivato alla eq. (3) che si differenzia per un fattore di 32/27 a moltiplicare il lato destro. Langevin, che è il fondatore della teoria delle equazioni differenziali stocastiche, ha fornito un'altra derivazione della eq. (3) che fu il punto di partenza del lavoro di Ornstein and Uhlenbeck.
Il lavoro di Einstein è di grande rilievo per la fisica, ha mostrato in modo concreto l'esistenza degli atomi. Citando Einstein:
“The agreement of these considerations with experience together with Planck's determination of the true molecular size from the law of radiation (for high temperatures) convinced the sceptics, who were quite numerous at that time (Ostwald, Mach) of the reality of atoms. The antipathy of these scholars towards atomic theory can indubitably be traced back to their positivistic philosophical attitude. This is an interesting example of the fact that even scholars of audacious spirit and ne instinct can be obstructed in the interpretation of facts by philosophical prejudices."
L'equazione di diffusione.
Consideriamo il moto di una particella libera, sulla quale, cioè non agisce alcun campo di forze esterne; per determinare il moto della particella non basterebbe conoscere gli impulsi che essa riceve in un dato intervallo di tempo, ma occorrerebbe sapere anche la sua velocità iniziale. Per Einstein la conoscenza della velocità iniziale della particella browniana, rispetto a un qualsiasi intervallo di tempo di osservazione, rappresentava un dato insignificante in confronto al numero di urti che la particella riceve nello stesso intervallo di tempo. (In effetti la particella browniana subisce circa 10^{21} collisioni al secondo; quindi l'assunzione di Einstein è ampiamente giustificata.)
Facendo l'ulteriore assunzione di una distribuzione casuale delle posizioni molecolari e prendendo in considerazione intervalli di tempo lunghi rispetto all'intervallo di tempo medio fra due collisioni successive, Einstein giunse alla formulazione di un'equazione di diffusione, analoga a quella che descrive la conduzione termica, la cui soluzione fornisce la densità di probabilità che una particella browniana occupi una data posizione a un dato istante. Se considerassimo tale funzione nel caso di una particella che si trovi inizialmente nell'origine e diffonda in una sola direzione, la densità di probabilità si comporta in modo simile a una goccia di inchiostro che diffonde in un bicchiere d'acqua. In altre parole, potremmo immaginare la densità di probabilità come la distribuzione, lungo una direzione dello spazio, di una sostanza estranea in un mezzo omogeneo, e l'evoluzione di questa densità di probabilità nel tempo come la diffusione della stessa sostanza. Per avvicinarci di più al mondo reale, la posizione di un punto rappresentativo della sostanza a ogni dato istante dovrebbe essere descritto da una funzione casuale, associata al moto di ciascuna molecola della sostanza. La traiettoria deve avere necessariamente una forma estremamente complicate e discontinua, il che determina un carattere di vitale importanza del moto browniano: la velocità istantanea di un punto che descrive la traiettoria del processo non è definibile!
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| I cammini tipici di una particella browniana sono fortemente irregolari se osservati su scala molto fine, come mostrato in figura. Così è possibile definire una velocità media, ma non una velocità istantanea. Questo significa che i cammini del moto browniano non sono differenzibili. |
La teoria di Einstein
Nel periodo in cui apparve sulla scena Albert Einstein, nel 1905 (lo stesso anno in cui formulò la teoria della relatività ristretta, e in cui spiegò l'effetto fotoelettrico introducendo il concetto di “fotone”), era disponibile una notevole mole di dati sperimentali sul moto browniano. Ciononostante, Einstein era alla ricerca di fatti sperimentali che comprovassero l'esistenza di atomi di dimensioni definite e non conosceva quel fenomeno; i suoi sforzi lo portarono a prevederne l'esistenza su basi puramente teoriche, e a fornire la prima teoria quantitativa.
Ma entriamo ora più in dettaglio nella derivazione matematica della formula di Einstein. Ci sono due parti fondamentali del ragionamento di Einstein, una è di carattere matematico, ed il risultato è il seguente: sia data \[\rho=\rho\left(x,\, t\right)\] la densità di probabilità che una “particella browniana” sia in x al tempo t. Allora facendo alcune assunzioni probabilistiche (alcune di esse implicite) Einstein derivò l'equazione di diffusione \[\frac{\partial\rho}{\partial t}=D\triangle\rho\] dove D è una costante positiva, chiamata coefficiente di diffusione. Se la particella è in x=0 al tempo t=0 così che \[\rho\left(x,\,0\right)=\delta\left(x\right))\] allora \[\rho\left(x,\,0\right)=\frac{1}{\left(4\pi Dt\right)^{3/2}}e^{-\frac{|x|^{2}}{4Dt}}\,\,\,\,(0)\](nello spazio tridimensionale, dove |x| è la distanza Euclidea di x dall'origine).
La densità normale o gaussiana rappresenta la quantità nella eq. (0). Possiamo immaginare un gran numero di particelle simili, affollate nelle immediate vicinanze di X=0 al tempo t=0, che vengono lasciate libere di diffondersi dal tempo t=0 in poi. Dopo un tempo t si stabilisce spontaneamente una distribuzione di particelle tale che il relativo numero di particelle comprese tra X e X+dX è ρ(X, t)dX. Oppure, alternativamente, possiamo considerare come nostro sistema, non un gran numero di particelle simili tra loro ma, piuttosto una particella singola. Allora ρ(X, t)dX denota la probabilità che la particella si sia spostata, nel tempo t, in una regione compresa fra X e X+dX. Sulla base di questa formula, Einstein, calcolò che l'allontanamento medio da X=0 doveva essere la radice quadrata della quantità 2Dt, al tempo t, in cui D è il coefficiente di diffusione. Einstein concluse così che il cammino descritto in media da una particella non è proporzionale al tempo, ma alla radice quadrata del tempo. Ciò deriva dal fatto che gli spostamenti descritti, per esempio durante due intervalli di tempo unitari "non vanno sempre sommati tra loro, ma altrettanto frequentemente vanno sottratti''.
La seconda parte dell'argomento, che mette in relazione D con altre grandezze fisiche, è fisica. In sintesi, si può descrivere in questo modo. Si immagini una sospensione di molte particelle browniane in equilibrio in un fluido, sulla quale agisce una forza esterna K. (La forza K può essere la gravità, ma il bello dell'argomento è che K è interamente virtuale.) In equilibrio la forza K è bilanciata dalla forza dovuta alla pressione osmotica della sospensione,
\[K=kT\,\frac{\mathrm{grad}\nu}{\nu}\,\,\,\,(1)\] dove ν è il numero di particelle per unità di volume, T la temperatura assoluta, e k è la costante di Boltzmann. La conoscenza di k è equivalente alla conoscenza del numero di Avogadro, e quindi delle dimensioni delle molecole. Il lato destro della eq. (1) è derivato applicando la teoria cinetica al gas di molecole. Le particelle browniane che si muovono nel fluido subiscono una resistenza dovuta all'attrito, e la forza K fornisce a ogni particella una velocità della forma
\[\frac{K}{m\beta},\] dove β è una costante dalle dimensioni di una frequenza e m è la massa della particella. Per cui \[\frac{\nu K}{m\beta}\] rappresenta il numero di particelle che passa in un'unità di area per unità di tempo per effetto della forza K. Dall'altra parte, se agisse solo la diffusione, ν avrebbe soddisfatto l'equazione di diffusione \[\frac{\partial\nu}{\partial t}=D\triangle\nu\] così che
\[-D\,\mathrm{grad\nu}\] sarebbe il numero di particelle che passa in un'unità di area per unità di tempo per effetto della diffusione. In una situazione di equilibrio dinamico, allora varrebbe che:
\[\frac{\nu K}{m\beta}=D\,\mathrm{grad\nu}.\,\,\,\,(2)\] Ora possiamo eliminare K e ν tra la eq. (1) e la eq.(2), ottenendo la formula di Einstein
\[D=\frac{KT}{m\beta}.\,\,\,\,(3)\]Questa formula si applica solamente quando non vi è alcuna forza e quando ci sono solo particelle browniane (cosicché ν non è definito).
In maniera analoga, se si dividono entrambi i lati della eq. (1) per mβ, e usando la eq. (3) si ottiene
\[\frac{K}{m\beta}=D\frac{\mathrm{grad}\nu}{\nu}.\] La densità di probabilità ρ non è altro che la densità numerica ν diviso il numero totale di particelle, quindi può essere riscritta come
\[\frac{K}{m\beta}=D\frac{\mathrm{grad}\rho}{\rho}.\] Siccome il lato sinistro dell'equazione rappresenta la velocità acquisita da una particella sotto l'azione della forza, allora
\[D\,\frac{\mathrm{grad}\rho}{\rho}\] è la velocità che deve possedere una particella per contrapporsi alla “forza di osmosi”.
Se le particelle browniane sono delle sfere di raggio a, la teoria della frizione di Stokes ci dice che \[m\beta=6\pi\eta a,\] dove η è il coefficiente di viscosità del fluido, così che in questo caso particolare abbiamo:
\[D=\frac{kT}{6\pi\eta a}.\] La temperatura T e il coefficiente di viscosità η possono essere misurati con grande accuratezza, se si conosce poi il raggio delle sfere usate come particelle browniane e ricavando D da osservazioni statistiche di moti browniani (usando la eq. (0) è possibile determinare la costante di Boltzmann k (o equivalentemente il numero di Avogadro).
Queste misure sono state eseguite con molta difficoltà da Perrin e Chaudesaigues. É piuttosto sorprendentemente, come accennato precedentemente, considerando il numero di ipotesi che son state fatte, che il risultato ottenuto per il numero di Avogadro concordi entro il 19% del valore moderno ottenuto altri mezzi. L'argomento di Einstein non fornisce una teoria dinamica del moto browniano, ma determina solo la natura del movimento e il valore del coefficiente di diffusione sulla base di alcune ipotesi. Smoluchowski, indipendentemente da Einstein, tentò di derivare una teoria dinamica, ed è arrivato alla eq. (3) che si differenzia per un fattore di 32/27 a moltiplicare il lato destro. Langevin, che è il fondatore della teoria delle equazioni differenziali stocastiche, ha fornito un'altra derivazione della eq. (3) che fu il punto di partenza del lavoro di Ornstein and Uhlenbeck.
Il lavoro di Einstein è di grande rilievo per la fisica, ha mostrato in modo concreto l'esistenza degli atomi. Citando Einstein:
“The agreement of these considerations with experience together with Planck's determination of the true molecular size from the law of radiation (for high temperatures) convinced the sceptics, who were quite numerous at that time (Ostwald, Mach) of the reality of atoms. The antipathy of these scholars towards atomic theory can indubitably be traced back to their positivistic philosophical attitude. This is an interesting example of the fact that even scholars of audacious spirit and ne instinct can be obstructed in the interpretation of facts by philosophical prejudices."
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